第九章：數字¶
處理數字是 Common Lisp 的強項之一。Common Lisp 有著豐富的數值型別，而 Common Lisp 操作數字的特性與其他語言比起來更受人喜愛。
9.1 型別 (Types)¶
Common Lisp 提供了四種不同型別的數字：整數、浮點數、比值與複數。本章所講述的函數適用於所有型別的數字。有幾個不能用在複數的函數會特別說明。
整數寫成一串數字：如 2001 。浮點數是可以寫成一串包含小數點的數字，如 253.72 ，或是用科學表示法，如 2.5372e2 。比值是寫成由整陣列成的分數：如 2/3 。而複數 a+bi 寫成 #c(a b) ，其中 a 與 b 是任兩個型別相同的實數。
謂詞 integerp 、 floatp 以及 complexp 針對相應的數字型別返回真。圖 9.1 展示了數值型別的層級。
圖 9.1: 數值型別
要決定計算過程會返回何種數字，以下是某些通用的經驗法則：
- 如果數值函數接受一個或多個浮點數作爲參數，則返回值會是浮點數 (或是由浮點陣列成的複數)。所以
(+ 1.0 2)求值爲3.0，而(+ #c(0 1.0) 2)求值爲#c(2.0 1.0)。 - 可約分的比值會被轉換成最簡分數。所以
(/ 10 2)會返回5。 - 若計算過程中複數的虛部變成
0時，則複數會被轉成實數 。所以(+ #c(1 -1) #c(2 1))求值成3。
第二、第三個規則可以在讀入參數時直接應用，所以：
> (list (ratiop 2/2) (complexp #c(1 0)))
(NIL NIL)
9.2 轉換及取出 (Conversion and Extraction)¶
Lisp 提供四種不同型別的數字的轉換及取出位數的函數。函數 float 將任何實數轉換成浮點數:
> (mapcar #'float '(1 2/3 .5))
(1.0 0.6666667 0.5)
將數字轉成整數未必需要轉換，因爲它可能牽涉到某些資訊的喪失。函數 truncate 返回任何實數的整數部分:
> (truncate 1.3)
1
0.29999995
第二個返回值 0.29999995 是傳入的參數減去第一個返回值。(會有 0.00000005 的誤差是因爲浮點數的計算本身就不精確。)
函數 floor 與 ceiling 以及 round 也從它們的參數中導出整數。使用 floor 返回小於等於其參數的最大整數，而 ceiling 返回大於或等於其參數的最小整數，我們可以將 mirror? (46 頁，譯註: 3.11 節)改成可以找出所有迴文（palindromes）的版本:
(defun palindrome? (x)
(let ((mid (/ (length x) 2)))
(equal (subseq x 0 (floor mid))
(reverse (subseq x (ceiling mid))))))
和 truncate 一樣， floor 與 ceiling 也返回傳入參數與第一個返回值的差，作爲第二個返回值。
> (floor 1.5)
1
0.5
實際上，我們可以把 truncate 想成是這樣定義的:
(defun our-truncate (n)
(if (> n 0)
(floor n)
(ceiling n)))
函數 round 返回最接近其參數的整數。當參數與兩個整數的距離相等時， Common Lisp 和很多程式語言一樣，不會往上取（round up）整數。而是取最近的偶數：
> (mapcar #'round '(-2.5 -1.5 1.5 2.5))
(-2 -2 2 2)
在某些數值應用中這是好事，因爲舍入誤差（rounding error）通常會互相抵消。但要是用戶期望你的程式將某些值取整數時，你必須自己提供這個功能。 [1] 與其他的函數一樣， round 返回傳入參數與第一個返回值的差，作爲第二個返回值。
函數 mod 僅返回 floor 返回的第二個返回值；而 rem 返回 truncate 返回的第二個返回值。我們在 94 頁（譯註： 5.7 節）曾使用 mod 來決定一個數是否可被另一個整除，以及 127 頁（譯註： 7.4 節）用來找出環狀緩衝區（ring buffer）中，元素實際的位置。
關於實數，函數 signum 返回 1 、 0 或 -1 ，取決於它的參數是正數、零或負數。函數 abs 返回其參數的絕對值。因此 (* (abs x) (signum x)) 等於 x 。
> (mapcar #'signum '(-2 -0.0 0.0 0 .5 3))
(-1 -0.0 0.0 0 1.0 1)
在某些應用裡， -0.0 可能自成一格（in its own right），如上所示。實際上功能上幾乎沒有差別，因爲數值 -0.0 與 0.0 有著一樣的行爲。
比值與複數概念上是兩部分的結構。(譯註：像 Cons 這樣的兩部分結構) 函數 numerator 與 denominator 返回比值或整數的分子與分母。（如果數字是整數，前者返回該數，而後者返回 1 。）函數 realpart 與 imgpart 返回任何數字的實數與虛數部分。（如果數字不是複數，前者返回該數字，後者返回 0 。）
函數 random 接受一個整數或浮點數。這樣形式的表達式 (random n) ，會返回一個大於等於 0 並小於 n 的數字，並有著與 n 相同的型別。
9.3 比較 (Comparison)¶
謂詞 = 比較其參數，當數值上相等時 ── 即兩者的差爲零時，返回真。
> (= 1 1.0)
T
> (eql 1 1.0)
NIL
= 比起 eql 來得寬鬆，但參數的型別需一致。
用來比較數字的謂詞爲 < （小於）、 <= （小於等於）、 = （等於）、 >= （大於等於）、 > (大於) 以及 /= （不相等）。以上所有皆接受一個或多個參數。只有一個參數時，它們全返回真。
(<= w x y z)
等同於二元運算子的結合（conjunction），應用至每一對參數上:
(and (<= w x) (<= x y) (<= y z))
由於 /= 若它的兩個參數不等於時會返回真，表達式
(/= w x y z)
等同於
(and (/= w x) (/= w y) (/= w z)
(/= x y) (/= y z) (/= y z))
特殊的謂詞 zerop 、 plusp 與 minusp 接受一個參數，分別於參數 = 、 > 、 < 零時，返回真。雖然 -0.0 （如果實現有使用它）前面有個負號，但它 = 零，
> (list (minusp -0.0) (zerop -0.0))
(NIL T)
因此對 -0.0 使用 zerop ，而不是 minusp 。
謂詞 oddp 與 evenp 只能用在整數。前者只對奇數返回真，後者只對偶數返回真。
本節定義的謂詞中，只有 = 、 /= 與 zerop 可以用在複數。
函數 max 與 min 分別返回其參數的最大值與最小值。兩者至少需要給一個參數:
> (list (max 1 2 3 4 5) (min 1 2 3 4 5))
(5 1)
如果參數含有浮點數的話，結果的型別取決於各家實現。
9.4 算術 (Arithematic)¶
用來做加減的函數是 + 與 - 。兩者皆接受任何數量的參數，包括沒有參數，在沒有參數的情況下返回 0 。（譯註: - 在沒有參數的情況下會報錯，至少要一個參數）一個這樣形式的表達式 (- n) 返回 -n 。一個這樣形式的表達式
(- x y z)
等同於
(- (- x y) z)
有兩個函數 1+ 與 1- ，分別將參數加 1 與減 1 後返回。 1- 有一點誤導，因爲 (1- x) 返回 x-1 而不是 1-x 。
宏 incf 及 decf 分別遞增與遞減數字。這樣形式的表達式 (incf x n) 類似於 (setf x (+ x n)) 的效果，而 (decf x n) 類似於 (setf x (- x n)) 的效果。這兩個形式裡，第二個參數皆是選擇性給入的，預設值爲 1 。
用來做乘法的函數是 * 。接受任何數量的參數。沒有參數時返回 1 。否則返回參數的乘積。
除法函數 / 至少要給一個參數。這樣形式的呼叫 (/ n) 等同於 (/ 1 n) ，
> (/ 3)
1/3
而這樣形式的呼叫
(/ x y z)
等同於
(/ (/ x y) z)
注意 - 與 / 兩者在這方面的相似性。
當給定兩個整數時， / 若第一個不是第二個的倍數時，會返回一個比值:
> (/ 365 12)
365/12
舉例來說，如果你試著找出平均每一個月有多長，可能會有頂層在逗你玩的感覺。在這個情況下，你需要的是，對比值呼叫 float ，而不是對兩個整數做 / 。
> (float 365/12)
30.416666
9.5 指數 (Exponentiation)¶
要找到 \(x^n\) 呼叫 (expt x n) ，
> (expt 2 5)
32
而要找到 \(log_nx\) 呼叫 (log x n) :
> (log 32 2)
5.0
通常返回一個浮點數。
要找到 \(e^x\) 有一個特別的函數 exp ，
> (exp 2)
7.389056
而要找到自然對數，你可以使用 log 就好，因爲第二個參數預設爲 e :
> (log 7.389056)
2.0
要找到立方根，你可以呼叫 expt 用一個比值作爲第二個參數，
> (expt 27 1/3)
3.0
但要找到平方根，函數 sqrt 會比較快:
> (sqrt 4)
2.0
9.6 三角函數 (Trigometric Functions)¶
常數 pi 是 π 的浮點表示法。它的精度取決於各家實現。函數 sin 、 cos 及 tan 分別可以找到正弦、餘弦及正交函數，其中角度以徑度表示：
> (let ((x (/ pi 4)))
(list (sin x) (cos x) (tan x)))
(0.7071067811865475d0 0.7071067811865476d0 1.0d0)
;;; 譯註: CCL 1.8 SBCL 1.0.55 下的結果是
;;; (0.7071067811865475D0 0.7071067811865476D0 0.9999999999999999D0)
這些函數都接受負數及複數參數。
函數 asin 、 acos 及 atan 實現了正弦、餘弦及正交的反函數。參數介於 -1 與 1 之間（包含）時， asin 與 acos 返回實數。
雙曲正弦、雙曲餘弦及雙曲正交分別由 sinh 、 cosh 及 tanh 實現。它們的反函數同樣爲 asinh 、 acosh 以及 atanh 。
9.7 表示法 (Representations)¶
Common Lisp 沒有限制整數的大小。可以塞進一個字（word）記憶體的小整數稱爲定長數(fixnums)。在計算過程中，整數無法塞入一個字時，Lisp 切換至使用多個字的表示法（一個大數 「bignum」）。所以整數的大小限製取決於實體記憶體，而不是語言。
常數 most-positive-fixnum 與 most-negative-fixnum 表示一個實現不使用大數所可表示的最大與最小的數字大小。在很多實現裡，它們爲：
> (values most-positive-fixnum most-negative-fixnum)
536870911
-536870912
;;; 譯註: CCL 1.8 的結果爲
1152921504606846975
-1152921504606846976
;;; SBCL 1.0.55 的結果爲
4611686018427387903
-4611686018427387904
謂詞 typep 接受一個參數及一個型別名稱，並返回指定型別的參數。所以，
> (typep 1 'fixnum)
T
> (type (1+ most-positive-fixnum) 'bignum)
T
浮點數的數值限制是取決於各家實現的。 Common Lisp 提供了至多四種型別的浮點數：短浮點 short-float 、 單浮點 single-float 、雙浮點 double-float 以及長浮點 long-float 。Common Lisp 的實現是不需要用不同的格式來表示這四種型別（很少有實現這麼幹）。
一般來說，短浮點應可塞入一個字，單浮點與雙浮點提供普遍的單精度與雙精度浮點數的概念，而長浮點，如果想要的話，可以是很大的數。但實現可以不對這四種型別做區別，也是完全沒有問題的。
你可以指定你想要何種格式的浮點數，當數字是用科學表示法時，可以通過將 e 替換爲 s f d l 來得到不同的浮點數。（你也可以使用大寫，這對長浮點來說是個好主意，因爲 l 看起來太像 1 了。）所以要表示最大的 1.0 你可以寫 1L0 。
（譯註: s 爲短浮點、 f 爲單浮點、 d 爲雙浮點、 l 爲長浮點。）
在給定的實現裡，用十六個全局常數標明了每個格式的限制。它們的名字是這種形式: m-s-f ，其中 m 是 most 或 least ， s 是 positive 或 negative ，而 f 是四種浮點數之一。 λ
浮點數下溢（underflow）與溢出（overflow），都會被 Common Lisp 視爲錯誤 :
> (* most-positive-long-float 10)
Error: floating-point-overflow
9.8 範例：追蹤光線 (Example: Ray-Tracing)¶
作爲一個數值應用的範例，本節示範了如何撰寫一個光線追蹤器 (ray-tracer)。光線追蹤是一個高級的 (deluxe)渲染算法: 它產生出逼真的圖像，但需要花點時間。
要產生一個 3D 的圖像，我們至少需要定義四件事: 一個觀測點 (eye)、一個或多個光源、一個由一個或多個平面所組成的模擬世界 (simulated world)，以及一個作爲通往這個世界的窗戶的平面 (圖像平面「image plane」)。我們產生出的是模擬世界投影在圖像平面區域的圖像。
光線追蹤獨特的地方在於，我們如何找到這個投影: 我們一個一個像素地沿著圖像平面走，追蹤回到模擬世界裡的光線。這個方法帶來三個主要的優勢: 它讓我們容易得到現實世界的光學效應 (optical effect)，如透明度 (transparency)、反射光 (reflected light)以及產生陰影 (cast shadows)；它讓我們可以直接用任何我們想要的幾何的物體，來定義出模擬的世界，而不需要用多邊形 (polygons)來建構它們；以及它很簡單實現。
(defun sq (x) (* x x))
(defun mag (x y z)
(sqrt (+ (sq x) (sq y) (sq z))))
(defun unit-vector (x y z)
(let ((d (mag x y z)))
(values (/ x d) (/ y d) (/ z d))))
(defstruct (point (:conc-name nil))
x y z)
(defun distance (p1 p2)
(mag (- (x p1) (x p2))
(- (y p1) (y p2))
(- (z p1) (z p2))))
(defun minroot (a b c)
(if (zerop a)
(/ (- c) b)
(let ((disc (- (sq b) (* 4 a c))))
(unless (minusp disc)
(let ((discrt (sqrt disc)))
(min (/ (+ (- b) discrt) (* 2 a))
(/ (- (- b) discrt) (* 2 a))))))))
圖 9.2 實用數學函數
圖 9.2 包含了我們在光線追蹤器裡會需要用到的一些實用數學函數。第一個 sq ，返回其參數的平方。下一個 mag ，返回一個給定 x y z 所組成向量的大小 (magnitude)。這個函數被接下來兩個函數用到。我們在 unit-vector 用到了，此函數返回三個數值，來表示與單位向量有著同樣方向的向量，其中向量是由 x y z 所組成的:
> (multiple-value-call #'mag (unit-vector 23 12 47))
1.0
我們在 distance 也用到了 mag ，它返回三維空間中，兩點的距離。（给 point 结构定义一个 conc-name （值为 nil ），代表访问字段的函数名会跟字段名相同：举例来说， x 而不是 point-x 。)
最後 minroot 接受三個實數， a , b 與 c ，並返回滿足等式 \(ax^2+bx+c=0\) 的最小實數 x 。當 a 不爲 \(0\) 時，這個等式的根由下面這個熟悉的式子給出:
圖 9.3 包含了定義一個最小光線追蹤器的程式。 它產生通過單一光源照射的黑白圖像，與觀測點 (eye)處於同個位置。 (結果看起來像是閃光攝影術 (flash photography)拍出來的)
surface 結構用來表示模擬世界中的物體。更精確的說，它會被 included 至定義具體型別物體的結構裡，像是球體 (spheres)。 surface 結構本身只包含一個欄位: 一個 color 範圍從 0 (黑色) 至 1 (白色)。
(defstruct surface color)
(defparameter *world* nil)
(defconstant eye (make-point :x 0 :y 0 :z 200))
(defun tracer (pathname &optional (res 1))
(with-open-file (p pathname :direction :output)
(format p "P2 ~A ~A 255" (* res 100) (* res 100))
(let ((inc (/ res)))
(do ((y -50 (+ y inc)))
((< (- 50 y) inc))
(do ((x -50 (+ x inc)))
((< (- 50 x) inc))
(print (color-at x y) p))))))
(defun color-at (x y)
(multiple-value-bind (xr yr zr)
(unit-vector (- x (x eye))
(- y (y eye))
(- 0 (z eye)))
(round (* (sendray eye xr yr zr) 255))))
(defun sendray (pt xr yr zr)
(multiple-value-bind (s int) (first-hit pt xr yr zr)
(if s
(* (lambert s int xr yr zr) (surface-color s))
0)))
(defun first-hit (pt xr yr zr)
(let (surface hit dist)
(dolist (s *world*)
(let ((h (intersect s pt xr yr zr)))
(when h
(let ((d (distance h pt)))
(when (or (null dist) (< d dist))
(setf surface s hit h dist d))))))
(values surface hit)))
(defun lambert (s int xr yr zr)
(multiple-value-bind (xn yn zn) (normal s int)
(max 0 (+ (* xr xn) (* yr yn) (* zr zn)))))
圖 9.3 光線追蹤。
圖像平面會是由 x 軸與 y 軸所定義的平面。觀測者 (eye) 會在 z 軸，距離原點 200 個單位。所以要在圖像平面可以被看到，插入至 *worlds* 的表面 (一開始爲 nil)會有著負的 z 座標。圖 9.4 說明了一個光線穿過圖像平面上的一點，並擊中一個球體。
圖 9.4: 追蹤光線。
函數 tracer 接受一個路徑名稱，並寫入一張圖片至對應的檔案。圖片檔案會用一種簡單的 ASCII 稱作 PGM 的格式寫入。默認情況下，圖像會是 100x100 。我們 PGM 檔案的標頭 (headers) 會由標籤 P2 組成，伴隨著指定圖片寬度 (breadth)與高度 (height)的整數，初始爲 100，單位爲 pixel，以及可能的最大值 (255)。檔案剩餘的部份會由 10000 個介於 0 (黑)與 1 (白)整陣列成，代表著 100 條 100 像素的水平線。
圖片的解析度可以通過給入明確的 res 來調整。舉例來說，如果 res 是 2 ，則同樣的圖像會被渲染成 200x200 。
圖片是一個在圖像平面 100x100 的正方形。每一個像素代表著穿過圖像平面抵達觀測點的光的數量。要找到每個像素光的數量， tracer 呼叫 color-at 。這個函數找到從觀測點至該點的向量，並呼叫 sendray 來追蹤這個向量回到模擬世界的軌跡； sandray 會返回一個數值介於 0 與 1 之間的亮度 (intensity)，之後會縮放成一個 0 至 255 的整數來顯示。
要決定一個光線的亮度， sendray 需要找到光是從哪個物體所反射的。要辦到這件事，我們呼叫 first-hit ，此函數研究在 *world* 裡的所有平面，並返回光線最先抵達的平面（如果有的話）。如果光沒有擊中任何東西， sendray 僅返回背景顏色，按慣例是 0 (黑色)。如果光線有擊中某物的話，我們需要找出在光擊中時，有多少數量的光照在該平面。
朗伯定律 告訴我們，由平面上一點所反射的光的強度，正比於該點的單位法向量 (unit normal vector) N (這裡是與平面垂直且長度爲一的向量)與該點至光源的單位向量 L 的點積 (dot-product):
如果光剛好照到這點， N 與 L 會重合 (coincident)，則點積會是最大值， 1 。如果將在這時候將平面朝光轉 90 度，則 N 與 L 會垂直，則兩者點積會是 0 。如果光在平面後面，則點積會是負數。
在我們的程式裡，我們假設光源在觀測點 (eye)，所以 lambert 使用了這個規則來找到平面上某點的亮度 (illumination)，返回我們追蹤的光的單位向量與法向量的點積。
在 sendray 這個值會乘上平面的顏色 (即便是有好的照明，一個暗的平面還是暗的)來決定該點之後總體亮度。
爲了簡單起見，我們在模擬世界裡會只有一種物體，球體。圖 9.5 包含了與球體有關的程式碼。球體結構包含了 surface ，所以一個球體會有一種顏色以及 center 和 radius 。呼叫 defsphere 添加一個新球體至世界裡。
(defstruct (sphere (:include surface))
radius center)
(defun defsphere (x y z r c)
(let ((s (make-sphere
:radius r
:center (make-point :x x :y y :z z)
:color c)))
(push s *world*)
s))
(defun intersect (s pt xr yr zr)
(funcall (typecase s (sphere #'sphere-intersect))
s pt xr yr zr))
(defun sphere-intersect (s pt xr yr zr)
(let* ((c (sphere-center s))
(n (minroot (+ (sq xr) (sq yr) (sq zr))
(* 2 (+ (* (- (x pt) (x c)) xr)
(* (- (y pt) (y c)) yr)
(* (- (z pt) (z c)) zr)))
(+ (sq (- (x pt) (x c)))
(sq (- (y pt) (y c)))
(sq (- (z pt) (z c)))
(- (sq (sphere-radius s)))))))
(if n
(make-point :x (+ (x pt) (* n xr))
:y (+ (y pt) (* n yr))
:z (+ (z pt) (* n zr))))))
(defun normal (s pt)
(funcall (typecase s (sphere #'sphere-normal))
s pt))
(defun sphere-normal (s pt)
(let ((c (sphere-center s)))
(unit-vector (- (x c) (x pt))
(- (y c) (y pt))
(- (z c) (z pt)))))
圖 9.5 球體。
函數 intersect 判斷與何種平面有關，並呼叫對應的函數。在此時只有一種， sphere-intersect ，但 intersect 是寫成可以容易擴展處理別種物體。
我們要怎麼找到一束光與一個球體的交點 (intersection)呢？光線是表示成點 \(p =〈x_0,y_0,x_0〉\) 以及單位向量 \(v =〈x_r,y_r,x_r〉\) 。每個在光上的點可以表示爲 \(p+nv\) ，對於某個 n ── 即 \(〈x_0+nx_r,y_0+ny_r,z_0+nz_r〉\) 。光擊中球體的點的距離至中心 \(〈x_c,y_c,z_c〉\) 會等於球體的半徑 r 。所以在下列這個交點的方程式會成立:
這會給出
其中
要找到交點我們只需要找到這個二次方程式的根。它可能是零、一個或兩個實數根。沒有根代表光沒有擊中球體；一個根代表光與球體交於一點 (擦過 「grazing hit」)；兩個根代表光與球體交於兩點 (一點交於進入時、一點交於離開時)。在最後一個情況裡，我們想要兩個根之中較小的那個； n 與光離開觀測點的距離成正比，所以先擊中的會是較小的 n 。所以我們呼叫 minroot 。如果有一個根， sphere-intersect 返回代表該點的 \(〈x_0+nx_r,y_0+ny_r,z_0+nz_r〉\) 。
圖 9.5 的另外兩個函數， normal 與 sphere-normal 類比於 intersect 與 sphere-intersect 。要找到垂直於球體很簡單 ── 不過是從該點至球體中心的向量而已。
圖 9.6 示範了我們如何產生圖片； ray-test 定義了 38 個球體（不全都看的見）然後產生一張圖片，叫做 “sphere.pgm” 。
(譯註：PGM 可移植灰度圖格式，更多資訊參見 wiki )
(defun ray-test (&optional (res 1))
(setf *world* nil)
(defsphere 0 -300 -1200 200 .8)
(defsphere -80 -150 -1200 200 .7)
(defsphere 70 -100 -1200 200 .9)
(do ((x -2 (1+ x)))
((> x 2))
(do ((z 2 (1+ z)))
((> z 7))
(defsphere (* x 200) 300 (* z -400) 40 .75)))
(tracer (make-pathname :name "spheres.pgm") res))
圖 9.6 使用光線追蹤器
圖 9.7 是產生出來的圖片，其中 res 參數爲 10。
圖 9.7: 追蹤光線的圖
一個實際的光線追蹤器可以產生更複雜的圖片，因爲它會考慮更多，我們只考慮了單一光源至平面某一點。可能會有多個光源，每一個有不同的強度。它們通常不會在觀測點，在這個情況程式需要檢查至光源的向量是否與其他平面相交，這會在第一個相交的平面上產生陰影。將光源放置於觀測點讓我們不需要考慮這麼複雜的情況，因爲我們看不見在陰影中的任何點。
一個實際的光線追蹤器不僅追蹤光第一個擊中的平面，也會加入其它平面的反射光。一個實際的光線追蹤器會是有顏色的，並可以模型化出透明或是閃耀的平面。但基本的算法會與圖 9.3 所示範的差不多，而許多改進只需要遞迴的使用同樣的成分。
一個實際的光線追蹤器可以是高度優化的。這裡給出的程式爲了精簡寫成，甚至沒有如 Lisp 程式設計師會最佳化的那樣，就僅是一個光線追蹤器而已。僅加入型別與行內宣告 (13.3 節)就可以讓它變得兩倍以上快。
Chapter 9 總結 (Summary)¶
- Common Lisp 提供整數 (integers)、比值 (ratios)、浮點數 (floating-point numbers)以及複數 (complex numbers)。
- 數字可以被約分或轉換 (converted)，而它們的位數 (components)可以被取出。
- 用來比較數字的謂詞可以接受任意數量的參數，以及比較下一數對 (successive pairs) ── /= 函數除外，它是用來比較所有的數對 (pairs)。
- Common Lisp 幾乎提供你在低階科學計算機可以看到的數值函數。同樣的函數普遍可應用在多種型別的數字上。
- Fixnum 是小至可以塞入一個字 (word)的整數。它們在必要時會悄悄但花費昂貴地轉成大數 (bignum)。Common Lisp 提供最多四種浮點數。每一個浮點表示法的限制是實現相關的 (implementation-dependent)常數。
- 一個光線追蹤器 (ray-tracer)通過追蹤光線來產生圖像，使得每一像素回到模擬的世界。
Chapter 9 練習 (Exercises)¶
- 定義一個函數，接受一個實數列表，若且唯若 (iff)它們是非遞減 (nondecreasing)順序時返回真。
- 定義一個函數，接受一個整數
cents並返回四個值，將數字用25-,10-,5-,1-來顯示，使用最少數量的硬幣。(譯註:25-是 25 美分，以此類推) - 一個遙遠的星球住著兩種生物， wigglies 與 wobblies 。 Wigglies 與 wobblies 唱歌一樣厲害。每年都有一個比賽來選出十大最佳歌手。下面是過去十年的結果:
| YEAR | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| WIGGLIES | 6 | 5 | 6 | 4 | 5 | 5 | 4 | 5 | 6 | 5 |
| WOBBLIES | 4 | 5 | 4 | 6 | 5 | 5 | 6 | 5 | 4 | 5 |
寫一個程式來模擬這樣的比賽。你的結果實際上有建議委員會每年選出 10 個最佳歌手嗎？
- 定義一個函數，接受 8 個表示二維空間中兩個線段端點的實數，若線段沒有相交，則返回假，或返回兩個值表示相交點的
x座標與y座標。 - 假設
f是一個接受一個 (實數) 參數的函數，而min與max是有著不同正負號的非零實數，使得f對於參數i有一個根 (返回零)並滿足min < i < max。定義一個函數，接受四個參數，f,min,max以及epsilon，並返回一個i的近似值，準確至正負epsilon之內。 - Honer’s method 是一個有效率求出多項式的技巧。要找到 \(ax^3+bx^2+cx+d\) 你對
x(x(ax+b)+c)+d求值。定義一個函數，接受一個或多個參數 ── x 的值伴隨著 n 個實數，用來表示(n-1)次方的多項式的係數 ── 並用 Honer’s method 計算出多項式的值。
- 你的 Common Lisp 實現使用了幾個位元來表示定長數？
- 你的 Common Lisp 實現提供幾種不同的浮點數？
腳註
| [1] | 當 format 取整顯示時，它不保證會取成偶數或奇數。見 125 頁 (譯註: 7.4 節)。 |